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摘 要：提出在各種測(cè)量精度及誤差不同分布形式下，實(shí)際處理實(shí)驗(yàn)不確定度的幾種近似方法。
關(guān) 鍵 詞：測(cè)量誤差；分布形式；不確定度；實(shí)際處理
中圖分類號(hào): O4-34 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1000-274X(2003)0048-04
任何測(cè)量都存在誤差，由于測(cè)量的客觀真值無(wú)法得知及測(cè)量條件的非理想化，使誤差大小無(wú)法確定。為了使測(cè)量誤差減到最小，除選擇不同測(cè)量方法外，還確立了各種誤差特征分類及分布規(guī)律，用來(lái)作誤差處理。國(guó)際計(jì)量委員會(huì)通過(guò)的《BIPM實(shí)驗(yàn)不確定度的說(shuō)明建議書(shū)INC-1 （1980）》（以下簡(jiǎn)稱建議書(shū)）建議用不確定度（uncertainty）取代誤差（error）來(lái)表示實(shí)驗(yàn)結(jié)果，并按其性質(zhì)將不確定度從估計(jì)方法上分為按統(tǒng)計(jì)分布的A類不確定度和按非統(tǒng)計(jì)分布的B類不確定度兩類，分別進(jìn)行處理后再進(jìn)行合成。從而使得“由于測(cè)量誤差的存在而對(duì)被測(cè)量值不能確定的程度”得到更科學(xué)的評(píng)估。由近年來(lái)關(guān)于不確定度的許多討論文章及不確定度的定義，我們可以對(duì)誤差和不確定度的關(guān)系理解為：測(cè)量中的不可靠量值為誤差，導(dǎo)致測(cè)量結(jié)果的不可靠量值為不確定度。標(biāo)準(zhǔn)偏差較集中地反映了測(cè)量誤差對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果的影響，而不確定度則綜合了全部誤差因素對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果的影響。但是，由于不確定度的運(yùn)用仍在“建議”階段以及它與誤差的緊密聯(lián)系，且誤差從根本上說(shuō)又是“一種粗略的估計(jì)”，所以不確定度的估算很難用簡(jiǎn)單的定義來(lái)解決，而是需要按實(shí)際情況合理地加以處理。筆者根據(jù)不同實(shí)驗(yàn)條件的具體情況，提出幾點(diǎn)實(shí)驗(yàn)不確定度的實(shí)際處理方法。
1 高精度測(cè)量結(jié)果（誤差正態(tài)分布時(shí)）不確定度的估算
參考《建議書(shū)》的精神，總不確定度u從估計(jì)方法上可分為A類不確定度和B類不確定度。A類不確定度是多次重復(fù)測(cè)量，用統(tǒng)計(jì)方法估算的不確定度分量；B類則是不能用統(tǒng)計(jì)方法估算的其他不確定度分量。
1.1 A類不確定度分量的估算
參考《建議書(shū)》的精神，總不確定度u從估計(jì)方法上可分為A類不確定度和B類不確定度。A類不確定度是多次重復(fù)測(cè)量，用統(tǒng)計(jì)方法估算的不確定度分量；B類則是不能用統(tǒng)計(jì)方法估算的其他不確定度分量。
1.1 A類不確定度分量的估算
此項(xiàng)分量（測(cè)量次數(shù)較多，n＞10時(shí)）一般直接由測(cè)量列平均值的標(biāo)準(zhǔn)偏差來(lái)近似估計(jì)，即
⑴
式中： 為有限次測(cè)量平均值的標(biāo)準(zhǔn)偏差； 為有限次測(cè)量列單次測(cè)量的標(biāo)準(zhǔn)偏差。
1.2 B類不確定度分量的估算
此項(xiàng)分量的估算，要對(duì)影響測(cè)量結(jié)果的各項(xiàng)進(jìn)行仔細(xì)分析研究以確定其分布、大小、相關(guān)因子等，并用經(jīng)驗(yàn)方法將其換算成與標(biāo)準(zhǔn)偏差有相同置信概率的分量，而最后合成。
1.3 總不確定度的估算
根據(jù)《建議書(shū)》要求，合成不確定度及其分量要用“標(biāo)準(zhǔn)偏差”的形式，即方和根的形式表示為
⑵
合成不確定度 乘以對(duì)應(yīng)于某一置信概率P 的置信因子 ，則得到總不確定度u。
此類不確定度的估算屬計(jì)量、標(biāo)定及高精度測(cè)量（相對(duì)不確定度在0.001以內(nèi)）等部門(mén)專業(yè)人員的工作，許多問(wèn)題的分析已超出普通測(cè)量的要求范圍。一般數(shù)據(jù)處理教材及國(guó)家計(jì)量技術(shù)標(biāo)準(zhǔn)中［１］都是以不確定度分布服從正態(tài)分布理論為依據(jù)的，這主要是由于目前正態(tài)分布的研究最完善，用其他分布分析測(cè)量結(jié)果的合成不確定度比較困難，而以近似正態(tài)分布來(lái)處理。
2 少次數(shù)測(cè)量情況下不確定度的估算
2.1 不確定度A類分量的估算
在許多情況下（如普通物理實(shí)驗(yàn)），一般測(cè)量次數(shù)不大于10（5＜n≤10）時(shí)，以算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)偏差作為A類分量，仍以正態(tài)分布作測(cè)量結(jié)果的報(bào)道，則將出現(xiàn)較大偏差（偏小），從而夸大了實(shí)驗(yàn)的精確度［２］。這時(shí)，常以聯(lián)系正態(tài)樣本平均值 和偏差 的統(tǒng)計(jì)量 （ 為期望值）所服從的t分布（又稱Student分布）來(lái)報(bào)道平均值的誤差更為合理。可以推導(dǎo)：當(dāng)5＜n≤10時(shí)，取 ，由t分布的概率數(shù)表可算得置信概率P，如表1。
表 1 置信概率表
Tab.1 Believe probability
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測(cè)量次數(shù)n
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2
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3
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4
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5
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6
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7
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8
|
9
|
10
|
11
|
|
|
1.41
|
1.73
|
2
|
2.24
|
2.45
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2.65
|
2.83
|
3
|
3.16
|
3.32
|
|
置信概率P
|
0.610
|
0.775
|
0.861
|
0.911
|
0.942
|
0.962
|
0.974
|
0.983
|
0.988 8
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0.992
|
所以，以統(tǒng)計(jì)方式估計(jì)的A類分量不確定度 簡(jiǎn)化等于測(cè)量列的單次測(cè)量標(biāo)準(zhǔn)偏差［３］。
即 （n－1為自由度；P接近或大于95%）。
⑶
⑶
2.2 不確定度B類分量的估算
B類分量常以儀器誤差 乘以與其分布有關(guān)的因子 簡(jiǎn)化表示［３］。如前所述，在少次數(shù)測(cè)量情況下，具體分析 的原因和確定 已超出了實(shí)驗(yàn)課程的要求范圍。但是，因 為儀器的允許誤差（檢定規(guī)程或有關(guān)技術(shù)文件規(guī)定的計(jì)量器具所允許的極限值），則應(yīng)有接近100%的置信概率（P≈0.99）。因而，大多數(shù)實(shí)驗(yàn)可簡(jiǎn)化近似 與 取相同置信因子P≥0.95 ，而直接將 當(dāng)作總不確定度中B類分量（ 可從有關(guān)國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)查得）。
2.3 總不確定度的估算
以 作為總不確定度A類分量， 為總不確定度的B類分量，按照方和根的合成形式，總不確定度可簡(jiǎn)化用下式求出
（P≥95%）
這一估計(jì)方法，與國(guó)際上工業(yè)技術(shù)和商務(wù)活動(dòng)中所推薦的置信概率P=0.95，以及考慮實(shí)驗(yàn)的實(shí)際應(yīng)用性而采用高置信度的做法相一致，也是與我國(guó)有關(guān)技術(shù)規(guī)范基本一致的比較簡(jiǎn)單、合理的估算方法，且在實(shí)驗(yàn)中用帶有統(tǒng)計(jì)運(yùn)算功能的計(jì)算器可方便地求得 和u。
3 普通精度實(shí)驗(yàn)不確定度的估算
3.1 A類不確定度的估算
普通精度測(cè)量（相對(duì)不確定度在0.01~0.001左右）如普通物理實(shí)驗(yàn)等，因精度要求較低，則可只討論主要幾個(gè)影響較大的誤差分量而忽略其他微小分量。因不確定度的有效數(shù)字在普通測(cè)量中一般只取一位，此項(xiàng)可根據(jù)不確定度傳遞公式，將小于最大分量1/3之后的各項(xiàng)舍去，而后按測(cè)量列平均值的標(biāo)準(zhǔn)偏差公式計(jì)算（見(jiàn)式⑴）。
3.2 B類不確定度的估算
B類不確定度的估算，如能確定其分布規(guī)律，可按各自分布規(guī)律處理。一般情況下，因數(shù)理統(tǒng)計(jì)，誤差分布等已超出普通測(cè)量討論范圍，可采用近似標(biāo)準(zhǔn)偏差來(lái)估算。如，當(dāng)非統(tǒng)計(jì)不確定度相應(yīng)的估計(jì)誤差為正態(tài)分布時(shí)，取，非統(tǒng)計(jì)不確定度相應(yīng)的估計(jì)誤差為均勻分布（方法、環(huán)境、數(shù)字儀表等誤差分布）時(shí)，取 等。式中Δ為非統(tǒng)計(jì)不確定度相應(yīng)的估計(jì)誤差限，常取為儀器誤差 。
3.3 總不確定度的合成
把各分量按“標(biāo)準(zhǔn)偏差”的形式合成，其中包括按各自分布處理的分量及非統(tǒng)計(jì)分量按正態(tài)分布近似處理的非正態(tài)估算分量，且一般采用平均值的一倍標(biāo)準(zhǔn)偏差估算（P=0.683）。此類估算方法為一較好近似結(jié)果，且在普通精度測(cè)量的不確定度估算中，避免了許多次要影響量及復(fù)雜的處理過(guò)程［４］。
4 特殊情況不確定度的估算
如當(dāng)B類不確定度較小（可忽略），則總不確定度直接用A類不確定度 表示。對(duì)于少次數(shù)測(cè)量，可用單次測(cè)量的標(biāo)準(zhǔn)偏差 表示，即 。
如，當(dāng) ，或因估計(jì)出的u對(duì)實(shí)驗(yàn)最后結(jié)果影響甚小，或因條件限制只進(jìn)行了一次測(cè)量時(shí)，u可簡(jiǎn)單的用 表示。對(duì)于少次數(shù)測(cè)量，可直接以 表示，即 。
實(shí)驗(yàn)不確定度的估計(jì)是以嚴(yán)密的數(shù)理統(tǒng)計(jì)理論為基礎(chǔ)的，而在絕大多數(shù)情況下實(shí)驗(yàn)者往往不具備數(shù)理統(tǒng)計(jì)、誤差分布方面的專業(yè)知識(shí)，或沒(méi)有必要作過(guò)多的復(fù)雜處理。本文所述的實(shí)驗(yàn)不確定度的幾種近似估算方法，可在實(shí)際運(yùn)用中作以參考。
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